Aby i żeby są dwiema poprawnymi formami. Można je niekiedy stosować zamiennie, pod warunkiem, że występują jako spójniki.

Poprawna pisownia, znaczenie: aby może być stosowane jako:
1. spójnik, który wprowadza zdanie podrzędne, mające wskazać cel danej czynności;
2. łącznik zdania nadrzędnego, opisującego cechę, ze zdaniem podrzędnym, wskazującym na efekt, jaki ta cecha wywołuje;
3. połączenie dwóch zdań, mówiących o nieoczekiwanym rezultacie danego zdarzenia;
4. wprowadzenie zdania podrzędnego, które wyraża wolę lub chęć;
5. potocznie wykorzystywany spójnik, podkreślający istotny warunek lub życzenie wypowiadającego się.

Przykłady poprawnej pisowni

Podbiegł szybko i wyciągnął wysoko ramiona, aby ojciec wziął go szybko na ręce.
Czy ty aby na pewno wiesz, co robisz? Bo mnie się wydaje, że nie do końca.
Wspiął się wysoko na drzewo, aby móc zorientować się w terenie i zobaczyć całą okolicę.

Poprawna pisownia, znaczenie: żeby to również spójnik, który może być wykorzystany jako:
1. synonim dla słowa aby, występuje w takich samych znaczeniach;
2. wprowadzenie zdania podrzędnego, które nawiązuje do użytego w zdaniu nadrzędnym czasownika w formie zaprzeczenia;
3. wyrażenie (niespełnionego) życzenia lub ubolewania;
4. podkreślenie autentyczności wypowiedzi;
5. słowo podkreślające groźbę, naganę lub polecenie.

Przykłady poprawnej pisowni

Nie mów w ten sposób do tej kobiety, bo nie sądzę, żeby było to dla niej miłe i przyjemne.
Trzeba mieć pecha, żeby wziąć urlop akurat wtedy, kiedy zakazano wychodzić z domu, bo jest pandemia.
Spóźniłeś się pięć godzin do domu, bo poszedłeś z kolegami na piwo? Żeby mi to było ostatni raz!