Oba wyrazy: żeby oraz aby, są poprawne. Często mogą występować zamiennie, jeśli funkcjonują jako spójnik. Mogą także występować w odmiennych znaczeniach i wówczas ich użycie zależy od kontekstu.

Poprawna pisownia, znaczenie: żeby jest kolejnym spójnikiem, który może pojawić się zamiennie dla aby, lub też wystąpić w nieco odmiennych znaczeniach:
1. wyraża ubolewanie lub (niespełnione) życzenie;
2. rozpoczyna zdanie podrzędne, które rozwija wypowiedź, zapoczątkowaną przez zaprzeczony czasownik w zdaniu nadrzędnym;
3. podkreśla prawdziwość i wagę wypowiedzi;
4. uwidacznia groźbę, naganę lub polecenie.

Przykłady poprawnej pisowni

Wczoraj w trakcie mojego dyżuru przywieźli dziecko, które miało poważny uraz głowy. Żebyś ty wiedział, co ja przeżyłem!
Weź się w końcu w garść i zacznij myśleć pozytywnie. Żeby tak ciągle zrzędzić, zamiast wziąć się do roboty!
Kiedy widziałem nad wodą grupkę dzieciaków, nie chciałem, żeby skakali na główkę do wody, ale nie posłuchali.

Poprawna pisownia, znaczenie: wyraz aby można wykorzystywać, gdy ma wystąpić jako:
1. spójnik wprowadzający do wypowiedzi zdanie podrzędne, które wskazuje cel czynności (albo samej wypowiedzi);
2. specyficzny łącznik, który wskazuje efekt, otrzymany w wyniku posiadania cechy, opisanej w zdaniu nadrzędnym;
3. początek zdania podrzędnego, którego celem jest opisanie chęci lub woli;
4. łącznik dwóch zdań, które opisują niespodziewany rezultat zdarzenia;
5. potoczny spójnik, który kładzie nacisk na warunek lub życzenie osoby wypowiadającej się.

Przykłady poprawnej pisowni

Popatrz, jak ciężko pracuję, abyś ty miał wszystko i mógł się uczyć, a ty to zupełnie ignorujesz.
Wszedł wysoko na wieżę i wyciągnął aparat, aby zrobić kilka panoramicznych zdjęć na konkurs.
Heniek był zbyt dumny, aby poprosić kogokolwiek o pomoc, dlatego praca zajęła mu trochę więcej czasu.