W języku polskim występują oba słowa, dlatego każde z nich jest poprawne. Można używać je zamiennie. Ich rodowód sięga języka starosłowiańskiego i zostały ukształtowane w obecnej formie oraz przyjęte w trakcie rozwoju języka.
Kaszleć lub kasłać to czasownik, który opisuje czynność gwałtownego, nagłego wyrzucania powietrza z płuc, często towarzyszącą różnorodnym chorobom (np. przeziębieniu) i podrażnieniom, związanym choćby z przebywaniem w otoczeniu o wysokim stężeniu pyłu.

Poprawna pisownia

Przykłady poprawnej pisowni

Cezary niespodziewanie zaczął głośno kaszleć, aż wystraszył wszystkich domowników.
Jeśli dłużej będziesz tak kaszleć, powinieneś udać się do lekarza, aby sprawdził, co ci dolega.
Agnieszka nie chciała kaszleć przez całą noc, dlatego poprosiła lekarza o odpowiedni syrop.

Poprawna pisownia

Przykłady poprawnej pisowni

Franek zawsze zaczynał kasłać, kichać lub pociągać nosem, kiedy przyjeżdżał w tę okolicę.
Podczas choroby Dorota najbardziej nie lubiła kasłać w nocy, ponieważ nie mogła wypocząć.
Jeśli czujesz, że musisz kichnąć lub kasłać w miejscu publicznym, zakryj usta i nos chusteczką.